전기 쌍극자 모멘트

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목차
1. 개요
1.1. 일반적 정의1.2. 확장
1.2.1. 예제 : 표면에 대전된 구
1.3. 화학적 접근
2. 전기 쌍극자의 물리량
2.1. 전기 퍼텐셜 · 전기장2.2. 힘과 돌림힘
2.2.1. 전기장 내에서 받는 힘2.2.2. 전기장 내에서 받는 돌림힘
3. 전기 퍼텐셜의 다중극 전개4. 편극 밀도5. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Electric dipole moment

1.1. 일반적 정의 [편집]

일반적으로 전기 쌍극자(Electric Dipole)는 전하량은 같고, 전하 부호는 다른 두 전하가 일정 거리 떨어져 있는 것을 나타낸다.

이때, 양전하 +q+q 음전하 −q-q 가 dd만큼 떨어져있을 때, 전기 쌍극자 모멘트(Electric Dipole Moment)는 다음과 같이 정의된다.

p≡qd \displaystyle \mathbf{p} \equiv q\mathbf{d}

이때, d\mathbf{d} 는 크기 d≪1d \ll 1 이고, 방향은 음전하로 부터 양전하를 가리키는 방향으로 정의되는 벡터이다.

파일:electric_dipole_moment_1_확정.png

이 전기 쌍극자 모멘트는 계의 극성을 나타내는 척도가 된다.

1.2. 확장 [편집]

이것을 확장하게 되면, NN개의 전하가 있는 경우엔 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

p=∑i=1Nqir′i \displaystyle \mathbf{p} = \sum_{i=1} ^{N} q_{i}\mathbf{r'}_{i}

이때, ri\mathbf{r}_{i} 는 전하 qi{q}_{i} 까지의 위치벡터이다.

전하가 연속적으로 분포된 계는 합을 적분으로 쓸 수 있어,

p=∫r′ dq \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq

로 쓸 수 있고, 전하밀도(Charge density) ρ \rho 를 도입하면,

p=∭r′ρ(r′) dV′ \displaystyle \mathbf{p} = \iiint \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV'

로 쓸 수 있다.

이때, 계의 총 전하(Net charge)가 00 인 경우엔 쌍극자 모멘트는 원점에 의존하지 않으나, 총 전하가 00 이 아닌 경우는 원점에 의존하게 되므로 원점을 어디를 택하느냐에 따라 쌍극자 모멘트가 달라진다. 그런경우, 일반적으로 원점은 계의 질량중심으로 잡는 게 일반적이다. 이것에 대한 증명은 세 번째 문단에 있다.

1.2.1. 예제 : 표면에 대전된 구 [편집]

[문제]
축이 zz축인 반지름이 RR인 구 표면에 표면 전하 밀도 σ=σ0cos⁡θ\sigma=\sigma_{0}\cos{\theta}로 대전되어있을 때, 이 구의 전기 쌍극자 모멘트를 구하시오.

[풀이 보기]

확장된 전기 쌍극자 모멘트

p=∫r′ dq \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq

를 사용하자. 현재 전하가 분포하는 곳은 구의 표면이므로 r′=Rr^\mathbf{r'}=R\hat{\mathbf{r}}이다. 이것을 직교 좌표계[1]로 쓰면,

r′=R(x^sin⁡θ′cos⁡ϕ′+y^sin⁡θ′sin⁡ϕ′+z^cos⁡θ′) \displaystyle \mathbf{r'}=R(\hat{\mathbf{x}}\sin{\theta '}\cos{\phi '}+\hat{\mathbf{y}}\sin{\theta '}\sin{\phi '}+\hat{\mathbf{z}}\cos{\theta '})

또한, 미소 전하 dq=R2σ0cos⁡θ′ dΩ′dq= R^{2}\sigma_{0}\cos{\theta'}\, d \Omega'이므로

p=∫r′ dq=R3σ0z^∮Ωcos⁡2θ′ dΩ′ \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq=R^{3}\sigma_{0}\hat{\mathbf{z}} \oint_{\Omega} \cos^{2}{\theta '}\, d \Omega'

참고로, x, yx,\,y성분은 ϕ\phi 대칭성에 따라 온 공간의 입체각에 대해 적분할 때 상쇄됨에 따라 기입하지 않았다. 따라서

p=43πσ0R3z^ \displaystyle \mathbf{p} =\frac{4}{3}\pi \sigma_{0} R^{3} \hat{\mathbf{z}}

가 된다.

이 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 아래의 내용을 참고하면,

Φ(r)=p⋅r4πε0r3=σ03ε0R3r2cos⁡θ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} = \frac{\sigma_{0}}{3\varepsilon_{0}} \frac{R^{3}}{r^{2}}\cos{\theta}

임을 알 수 있다. 사실 전기 퍼텐셜 문서에서 같은 상황으로 구 내·외부의 전기 퍼텐셜 분포를 구해보았고, 외부의 상황과 같게 나왔음을 알 수 있다. 즉, 이 상황은 구 중심에 위에서 도출되었던 쌍극자가 있는 상황과 완전히 같다는 것을 알 수 있다.

1.3. 화학적 접근 [편집]

하나의 공유 결합 내에서, 전자가 두 개의 원자 중 전기 음성도가 큰 원자 쪽으로 더 많이 끌리게 된다. 여기서 상대적으로 전기 음성도가 큰 원자는 (−)(-)전하를 띠게 되고, 전기 음성도가 작은 원자는 (+)(+)전하를 띄게 되는 것을 쌍극자라 한다. 이때 두 극의 세기와 두 원자핵 사이의 거리를 곱한 벡터량을 쌍극자 모멘트라 하고, 방향은 (−)(-)극에서 (+)(+)극으로 향하는 쪽이다. 따라서 산소, 질소와 같이 전기 음성도가 같은 두 원자로 이루어진 분자는 쌍극자 모멘트가 0인 무극성 분자이다.

분자가 전기장 내에 놓일 경우, 전자가 전기장에 의해 힘을 받아 이동하므로 무극성 분자도 유도된 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다.

2원자 분자에 쌍극자 모멘트가 있다면 그 분자는 반드시 극성 분자이고, 3원자 이상의 분자는 쌍극자 모멘트가 있더라도 그 합이 0이면 무극성 분자이다.

특성상 고분자에 가까워질수록 쌍극자 모멘트는 옅어진다. 주위에서 흔하게 볼 수 있는 물질 중 쌍극자 모멘트가 특히 강한 것으로는 설탕이 있다.

2. 전기 쌍극자의 물리량 [편집]

2.1. 전기 퍼텐셜 · 전기장 [편집]

전기 쌍극자가 자유공간에 놓여있는 경우에서 쌍극자로부터 r≫d r \gg d 만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜은


Φ(r)=p⋅r4πε0r3 \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}}

[ 증명 ]
그림과 같이 구면 좌표계[2]의 z z축 위에 있고, 쌍극자의 중점이 원점인 쌍극자 p \mathbf{p}를 고려하자.

파일:전기쌍극자_수정_2.png

이때, 원점으로 부터 r r 만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜 Φ(r) \Phi(r)는 +q +q에 의한 전기 퍼텐셜 Φ+ \Phi_{+}와 −q -q에 의한 전기 퍼텐셜 Φ− \Phi_{-}의 합이므로

Φ(r)=Φ++Φ−\Phi(r)=\Phi_{+}+\Phi_{-}

가 된다. 따라서 점전하의 전기 퍼텐셜를 사용하면,

Φ(r)=q4πε0(1∣r+∣−1∣r−∣)\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r_{+}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r_{-}} \right |} \right )

로 쓸 수 있다. 이때, 다음을 이용하면,

r+=r−d2z^\displaystyle \mathbf{r_{+}}=\mathbf{r}-\frac{d}{2}\hat{\mathbf{z}},　r−=r+d2z^\displaystyle \mathbf{r_{-}}=\mathbf{r}+\frac{d}{2}\hat{\mathbf{z}}

다음과 같이 쓸 수 있다.

Φ(r)=q4πε0(1∣r−(d/2)z^∣−1∣r+(d/2)z^∣)\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r}-(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r}+(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |} \right )

이때,

∣r±(d/2)z^∣=(r2+d24∓rd cos⁡θ)1/2\displaystyle \left | \mathbf{r}\pm(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |=\left ( r^{2}+\frac{d^{2}}{4}\mp rd\,\cos{\theta} \right )^{1/2}

이고, d≪rd \ll r 이면,

1∣r±(d/2)z^∣=1r(1+d24r2∓drcos⁡θ)−1/2≃1r(1±d2r cos⁡θ)\displaystyle \frac{1}{\left | \mathbf{r}\pm(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |}=\frac{1}{r} \left ( 1+\frac{d^{2}}{4r^{2}}\mp \frac{d}{r}\cos{\theta} \right )^{-1/2}\simeq \frac{1}{r} \left ( 1\pm \frac{d}{2r}\,\cos{\theta} \right )

로 근사적으로 쓸 수 있으므로

Φ(r)=qdrcos⁡θ4πε0r3\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}

가 나오게 된다. 이때, 아래를 고려하면,

p=qdz^\displaystyle \mathbf{p}=qd\hat{\mathbf{z}},　p⋅r=qdrcos⁡θ\displaystyle \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}=qdr\cos{\theta}

최종적으로 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜를 좌표계에 무관하게 쓰면,

Φ(r)=p⋅r4πε0r3 \displaystyle \Phi(r) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}}

가 된다.

으로 나타내고, 전기장은 전기 퍼텐셜의 그레이디언트로 주어지므로

E(r)=−∇Φ=3(p⋅r^)r^−p4πε0r3 \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\Phi = \frac{3(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}}

으로 나타낸다. ε0\varepsilon_{0}는 자유공간의 유전율을 나타낸다.
[ 증명 ]
위에서

Φ(r)=qdrcos⁡θ4πε0r3\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}

임을 구했으므로 전기장이 전위의 그레이디언트로 주어지는 것을 이용하자. 이때, 위에서 구한 것은 구면 좌표계에서 주어진 식이므로

E=−∇Φ=2qdcos⁡θr^4πε0r3+qdsin⁡θθ^4πε0r3\displaystyle \mathbf{E} =-\boldsymbol{\nabla}\Phi=\frac{2qd\cos{\theta} \hat{\mathbf{r}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}+\frac{qd\sin{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}

따라서 정리하면,

E(r)=14πε0(2qdcos⁡θr3r^+qdsin⁡θr3θ^)\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left (\frac{2qd\cos{\theta}}{r^{3}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{qd\sin{\theta}}{r^{3}}\hat{\boldsymbol{\theta}} \right )

이고, 이것을 다시 쓰면,

E(r)=14πε0r3[3qdcos⁡θr^+qd(sin⁡θθ^−cos⁡θr^)]\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} \left [ 3qd\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}}+ qd \left ( \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}} \right ) \right ]


이때, 다음을 고려하면,

p=qdz^ \displaystyle \mathbf{p}=qd\hat{\mathbf{z}} ,　qd=p⋅r^\displaystyle qd=\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}} ,　sin⁡θθ^−cos⁡θr^=−z^\displaystyle \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}}=- \hat{\mathbf{z}}

최종적으로

E(r)=3(p⋅r^)r^−p4πε0r3 \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) = \frac{3(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}}

로 좌표계와 무관하게 쓸 수 있다.

전기 쌍극자가 형성하는 전기력선과 등전위선은 아래와 같다. 실선은 전기력선이며, 점선은 등전위선이다.

파일:나무_전기쌍극자_전기력선_등전위선_수정2.png

전하의 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장과 비슷한 것을 알 수 있고, 아래의 문단을 보면 사실 상 거의 동일한 것임을 알 수 있다.

찾은 전기장은 전하의 부호가 다른 두 전하의 간격가 극단적으로 줄어들었거나, 두 전하로 부터 극단적으로 먼 곳의 전기장[3]을 측정할 때 위의 장이 나오게 된다. 그러나 이것 역시도 근사이므로 두 전하의 간격을 무시할 수 없거나, 쌍극자로 다가갈 수록 전기장은 위 식을 따르지 않고, 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장으로 가게 된다. (이를 잘 나타낸 그림)

2.2. 힘과 돌림힘 [편집]

2.2.1. 전기장 내에서 받는 힘 [편집]

전기 쌍극자 모멘트가 전기장 E \mathbf{E} 안에 있을 때, 받는 힘은

F=(p⋅∇)E \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}

로 주어진다.
[ 증명 ]
전기장 내에 있는 쌍극자 p \mathbf{p} 의 −q -q 와 q q 까지의 위치 벡터를 각각 r \mathbf{r} , r+ \mathbf{r_{+}} 라 하자.[4] 전기장 내에서 점전하가 받는 힘은

F(r)=qE(r)\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \mathbf{E} (\mathbf{r})

으로 주어지므로 쌍극자가 받는 힘은 각각의 전하가 받는 힘의 벡터 합이다. 즉,

F(r)=q[E(r+)−E(r)]\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}(\mathbf{r_{+}})-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ]

로 쓸 수 있다. 이때,

r+=d+r\displaystyle \mathbf{r_{+}}=\mathbf{d}+\mathbf{r}

로 쓸 수 있으므로

F(r)=q[E(d+r)−E(r)]\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} )-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ]

이다. 이때, 쌍극자는 일반적으로 d≪rd \ll r 를 만족하므로

E(d+r)≃E(r)+(d⋅∇)E(r)\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} ) \simeq \mathbf{E}(\mathbf{r} )+(\mathbf{d} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )

으로 전개[5]해서 쓸 수 있다. 따라서

F(r)=q(d⋅∇)E(r)=(p⋅∇)E(r)\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q (\mathbf{d} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )= (\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )

으로 정리되므로

F=(p⋅∇)E\displaystyle \mathbf{F}= (\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}

가 나오게 된다.

정전기학에서 다루는 전기장 E \mathbf{E}의 발산[6]과 회전[7]은 0 0이 되고, 전기 쌍극자 모멘트 p \mathbf{p}는 constant vector이므로 p \mathbf{p}가 전기장 내에서 받는 힘은 다음과 같이도 쓸 수 있다.

F=p⋅(∇E)=∇(p⋅E) \displaystyle \mathbf{F} =\mathbf{p} \cdot (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{E})=\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{p} \cdot \mathbf{E})

2.2.2. 전기장 내에서 받는 돌림힘 [편집]

균일한 전기장 E \mathbf{E} 안에 전기 쌍극자 모멘트 p \mathbf{p} 가 있을 때, p \mathbf{p} 에 작용하는 돌림힘은

τ=p×E \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E}

로 주어지고, 이때 쌍극자가 가지는 에너지는

U=−p⋅E U=-\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}

이다.

그러나, 전기 쌍극자 모멘트가 균일하지 않은 전기장 E \mathbf{E} 안에 있을 때, 받는 힘은

τ=p×E+r×F \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E}+\mathbf{r} \times \mathbf{F}

로 주어진다.

여기서 r\mathbf{r}는 쌍극자의 위치 벡터와 F\mathbf{F}는 쌍극자가 전기장 영역 속에서 받는 힘이다. 이때, F\mathbf{F}는 위에서 보았듯, F=(p⋅∇)E \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E} 로 주어지게 된다.

3. 전기 퍼텐셜의 다중극 전개 [편집]

이번엔 국소화된 전하분포를 멀리서 관찰할 때, 어떤 방법으로 계를 분석할 수 있는지 알아보자. 그림과 같이 전하 분포 ρ(r′)\rho(\mathbf{r'})을 가지는 계에 대해 고려해보자.

파일:다중극 전개_전기 쌍극자.png

이때, 전기 퍼텐셜(Electric potential)은 다음과 같이 주어진다.

Φ(r)=∭14πε0ρ(r′)∣r−r′∣ dV′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\iiint \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\frac{\rho(\mathbf{r'})}{\left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right | }\,dV'

이때,

∣r−r′∣−1=(r2+r′2−2rr′cos⁡θ)−1/2 \displaystyle \left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{-1} =(r^2+r'^{2}-2rr' \cos{\theta} )^{-1/2}

이고, r≫r′r\gg r'라면, 이것을 르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.

(r2+r′2−2rr′cos⁡θ)−1/2=1r∑n=0∞(r′r)nPn(cos⁡θ)=∑n=0∞r′nrn+1Pn(cos⁡θ) \displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' \cos{\theta})^{-1/2}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{r'}{r} \right )^{n} P_{n}(\cos{\theta})= \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta})

이상에서 전기 퍼텐셜은

Φ(r)=14πε0∭ρ(r′)[∑n=0∞r′nrn+1Pn(cos⁡θ)] dV′ \displaystyle \Phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\iiint \rho(\mathbf{r'})\left [ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) \right ]\,dV'

로 주어진다.

따라서 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 전개할 수 있다.

Φ(r)≈14πε0[1r∭ρ(r′) dV′+1r2∭r′cos⁡θρ(r′) dV′+1r3∭r′2(32cos⁡2θ−12)ρ(r′) dV′+⋯ ] \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} } \left [\frac{1}{r} \iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^2} \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^3} \iiint r'^{2} \left ( \frac{3}{2}\cos^{2}{\theta}-\frac{1}{2} \right ) \rho(\mathbf{r'})\,dV'+\cdots \right ]

여기서 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, ⋯\cdots, 2n−12^{n-1}극자항이라 부른다.

위의 논의는 다음을 얻는다.
국소화된 전하분포를 멀리서 전기 퍼텐셜을 관측하면, 그것은 홀극자, 쌍극자, 사극자, …의 전기 퍼텐셜의 합으로 근사시킬 수 있다.
자세한 설명은 다중극 전개 문서에 잘 나와있다.

전기 쌍극자에 대해 논의하므로 이제부터는 제 2항만 논의하도록 한다. 해당 항을 다시 쓰면,

14πε0r2∭r′cos⁡θρ(r′) dV′=14πε0r2[∭r′ρ(r′) dV′]⋅r^ \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \cdot \hat{\mathbf{r}}

이때, 전기 쌍극자를 다음으로 정의한다.

p≡∭r′ρ(r′) dV′ \displaystyle \mathbf{p} \equiv \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'

이것은 맨 위의 확장 부분에서 소개했던 것이다.

따라서 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은

14πε0r2[∭r′ρ(r′) dV′]⋅r^=p⋅r4πε0r3 \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \cdot \hat{\mathbf{r}}= \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}}

으로 위와 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.

원점을 R\mathbf{R}만큼 이동했을 때, 기술되는 쌍극자를 p′\mathbf{p'}라 하면, 이 좌표계에서 R′=r′−R\mathbf{R'}=\mathbf{r'}-\mathbf{R}가 되므로

p′=∭R′ρ(r′) dV′=∭(r′−R)ρ(r′) dV′ \displaystyle \mathbf{p'}= \iiint \mathbf{R'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'=\iiint (\mathbf{r'}-\mathbf{R}) \rho(\mathbf{r'})\,dV'

이것을 전개하면,

p′=∭r′ρ(r′) dV′−R∭ρ(r′) dV′ \displaystyle \mathbf{p'}=\iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'-\mathbf{R}\iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV'

R\mathbf{R}는 적분과 무관한 상수벡터이므로 적분 밖으로 나올 수 있다. 여기서 제 1항은 p\mathbf{p}이고, 제 2항의 적분은 곧 총전하인데, 이것을 QQ라 놓으면 다음을 얻는다.

p′=p−QR \displaystyle \mathbf{p'}=\mathbf{p}-Q\mathbf{R}

위의 논의는 다음을 얻는다.
전기 쌍극자 모멘트는 계의 총전하가 0이 아닌 이상 좌표계의 원점에 의존한다.
이때, 계의 총전하가 0이 아닌 경우는 위에서 밝혔듯 계의 질량중심을 기준으로 원점을 잡는 것이 일반적이다.

4. 편극 밀도 [편집]

5. 관련 문서 [편집]


[1] 직교 좌표계에서 다중극 전개를 하였기 때문에 기저 벡터는 직교 좌표계의 기저 벡터를 쓰는 것이 옳다.[2] 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 Φ\Phi 방향에 대한 대칭성이 있어 우선 구면 좌표계로 특수한 상황의 전기 퍼텐셜을 구하고, 좌표계에 무관한 꼴로 고치는 것이 쉽기 때문에 구면 좌표계를 택한 것이다.[3] 이를테면, 수소 원자의 경우도 양성자와 전자로 구성된 전기 쌍극자로 볼 수 있는데, 거시적인 세계에서 볼 때를 기준으로는 두 전하는 극단적으로 간격이 줄어든 것으로 보이고, 수소 원자 입장에서도 거시적인 우리 세계는 극단적으로 먼 곳이므로 위와 같은 전기장이 나오게 된다.[4] 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.[5] 테일러 급수의 벡터 버전.[6] ∇⋅E=ρ / ε0 \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \rho\, / \, \varepsilon_0이므로 전하가 없는 영역에서는 전기장의 발산은 0 0이 된다.[7] 정전기학은 기본적으로 보존장을 다루기 때문이다.

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